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日益精确的圆周率——计算π值的历程

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人类在很早的时候,从生活和生产的实践中,就发现了“一个圆的周长与其直径之比是一个定数”。这个定数被后世称为圆周率,大数学家欧拉在1737年采用符号“π”表示圆周率,以后才普遍使用。从古到今,人类为求出这个π值,不知走过多么漫长而曲折的道路。在数学史上,π值的精确度,曾代表着一个国家的数学水平。我们中国人,在求π值的精确度上,曾创造过辉煌,代表了人类在那段时期数学的最高成就。


早期的圆周率


  我国第一部数学算书《周髀算经》中,就记载有圆“周三径一”这一结论。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为“古率”。古代还有许多国家也取圆周率为3,如埃及、巴比伦、印度、日本等,在“圣经”中也有记载。在实践中,人们发现用古率去计算诸如圆的周长、面积,其值均比实际小。于是不断有人用经验去修正圆周率值。稍后,古埃及人将圆周率π值精确到3.1605,古巴比他人则取圆周率值为3.125.印度与阿拉伯人则用根号10代替圆周率.

  公元前250年,阿基米德用边数越来越多的圆内接或外切正多边形的周长和面积来近似代替圆,以确定圆周率的方法。当正多边形的边数越大时,得到的圆周率越精确。阿基米德算到正96边形,得到当时圆周率的最好近似3.1418。到公元前5世纪,希腊已将圆周率精确到3.1416,这在世界上是领先的。

  我国最早对古率的修正是公元1—5年,汉王莽时期的刘歆。他得到的圆周率=3.15466…,这个圆周率虽不够精确,却为摆脱“古率”的限制迈出了勇敢的一步。继之,发明浑天仪和候风地动仪的大科学家张衡(东汉时期),也探求过圆周率值。他是利用球体体积来计算的。但因他依据的球与外切圆柱体、外切立方体诸体积之比的理论,当时有错误,以至于得到的圆周率=


刘徽用割圆术求π值


  继阿基米德之后,约在公元150年,希腊天文学家托勒密求得圆周率=3.141666。晚于他的我国天文学家王蕃于公元255年,用勾股法求得圆周率=3.1555。

  公元263年,魏晋时期的刘徽在《九章算术注》中,首创用“割圆术”去求圆周率。即通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求圆周长的方法。刘徽从计算圆内接正六边形开始(此时边长等于半径),再计算正12边形周长,即将圆周12等分,进而正24边形,正48边形,直算到正192边形,即将圆周192等分,用其周长去近似表示圆的周长。并说:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣。”这就是说,当圆内接正多边形边数无限增加时,这个正多边形的周长,就无限逼近圆的周长。这种“无限逼近”的思维方法正是近代数学基础的极限思维方式。这种极限思维方式,虽早在春秋时代庄子的书中就有了,但将这种极限思维用于解决数学问题,刘徽乃第一人。

  刘徽计算圆内接正192边形求圆周率,可不是简单的事。当时计算工具还十分落后,要计算是用筹算,得拿一捆细的棍捧(称为算筹),摆弄半天才算得一个数。算圆内接正多边形的

  边数每翻一番,至少要进行7次运算。其中除了加减运算还要计算2次乘方和2次开方。刘徽算到正192边形,边数翻了5番,算出的圆周率为3.141024与3.142704之间。可想而知,用筹算进行超过六位小数的乘方运算及开方运算,这需要多么熟练的运算技巧,需要多么顽强的毅力。刘徽算出的圆周率,虽然精确度只是3.14,但他开创的“割圆术”,以及对许多数学问题独创性的见解,使他受到世人的赞誉。

祖冲之
刘徽
阿基米德的浮力定律
阿基米德


祖冲之创造的世界纪录


  公元5世纪中国南北朝时期,祖冲之“专攻数术,搜练古今,博采沈奥”,成为我国古代最伟大的数学家,天文学家,机械学家。

  祖冲之祖籍范阳遒(今河北省涞水县北)人,公元429年生於江南。他祖上几代人都研究历法,受家庭熏陶,祖冲之自幼便对数学和天文产生了浓厚的兴趣。他年轻时抱着“长风破浪会有时,直挂风帆济沧海”的雄心壮志,学习非常刻苦勤奋,阅读和研究了有关天文、数学的大量著作,同时又注重实际观测。经过长期钻研磨练,终于成为杰出的学者。   祖冲之青年时代曾在刘宋政府的华林省从事研究工作,后升任南徐州(今镇江)从事史,继又赴建康(今南京)任公府参军,谒者什射(朝廷礼书官),长水校尉等职。祖冲之就在这“江南佳丽地,金陵帝王州”度过了他一生的主要时光。

  祖冲之对世界最大的贡献就是对圆周率的研究。据《隋书·律历志》记载,祖冲之求得“以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率:圆径一百十三,圆周三百五十五;约率:圆径七圆周二十二。”这就是说,祖冲之求出的结果为:3.1415926<圆周率<3.1415927,

  这个精确到小数点后七位的圆周率,在当时是非常了不起的成就。这个世界级的精确度,由祖冲之创造,并由他保持了一千年,直到15世纪,才由中亚的阿尔·卡希打破,得到精确到小数16位的值。

  在筹算的时代,祖冲之是怎样求出精确到7位小数的圆周率值呢?说来真是遗憾。祖冲之写了一本非常优秀的数学著作《缀术》,其中包括了对圆周率的研究及成果,以及其它的丰富内容,该书曾被唐国子监和朝鲜、日本用做算术课本。但隋唐时“学官莫能究其深奥,是故废而不理”。这就是说,在隋唐那个重文轻理的时代,当官的多不懂数学,祖冲之著的《缀术》,他们根本就看不懂,因此当废物弃之。到了北宋的1804年刻印各种算经时就找不见《缀术》,失传了。这不能不说是世界数学史上重大损失。因此,祖冲之到底怎样算出圆周率值的,也就成了千古之谜。

  后世数学家也多有研究这千古之谜的,总想探求祖冲之求圆周率的方法。若祖冲之是在前人成就的基础上,用“割圆术”去求圆周率,那么从圆内接正六边形开始,要将其边数翻11番,算到

计算一个直径10公里的圆周长,结果只比真值还大不到3毫米。从这我们可以看到,祖冲之在求圆周率时的艰辛,以及所求圆周率的精确程度。我国自汉代便存在着“连分数术”。近代多有人认为祖冲之是用此法求的圆周率。但当时只能用筹算去算数,按精确到小数点7位去计算,那么,小数至少要保留12位,而12位小数的二次乘方和开方,就决非易事。无论他采用何种方法,在当时的条件下,祖冲之能算出精确到七位小数的圆周率是多么的不容易。正是这不容易,才构成了祖冲之的伟大,才使中国的数学在全世界独领风骚一千年。

  祖冲之成为中华民族的骄傲,人们将它的“密率”称为“祖率”。人类为了纪念这位数学家,将在月球背面发现的一个环形山谷,命名为《祖冲之山谷》。


π值的近代计算


  祖冲之之后的许多数学家,也对圆周率进行过研究,但都不如他所求值的精确,直到一千年后,由中亚的阿尔·卡希得到精确度为小数16位的圆周率。而此时已经有阿拉伯数字进行笔算。17世纪,瓦里斯给出了圆周率的有理式或极限形式。范瑟朗给出精确到35位小数的圆周率。1853年,番克斯计算π值,精确度达到小数607位。

  电子计算机出现以后,π的计算工作有了更大进展。1949年美国赖脱威逊用ENIAE计算机工作70小时求得π的2034位小数值。1973两位法国女数学家利用7600CDC型电子计算机得到100万位小数的π值。1983年计算到16777216位小数。现在有人已计算到上亿位,甚至10亿位。

  在π的近似值的“马拉松”式的计算竞赛中,一直没有发现任何循环的现象。希望π是有理数的期望渐渐暗淡了,直到1761年德国数学家兰伯特证明了π是无理数。1882年,德国数学家林德曼藉助于eiπ=-1证明了π是一个超越数。

  为了实际计算的需要,这是π值计算的初衷,因为许多场合涉及到圆周率。但是,计算π的意义并不是单纯为了实际计算的需要,就近代科学所需要的精密度来说,即使需要几十亿分之一的精确度,也只不过需要用到π的10位小数就足够了。而关于π值多位数的计算却发现了它有许多迷人的性质。π的理论和性质可以有各种各样,它是一个深深的丰富的宝地,几千年来一直引起人们的极大兴趣,并且现在和将来还有人在不断地研究。


作者:佚名 来源:本站原创 发布时间:2008年08月17日
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