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惠东中学高中数学研究性学习的选题参考

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数学教材是研究课题的重要来源,新编的高中数学教材(练习部分)已经为我们提供了大量的研究性学习的课题。如果我们注意挖掘教材,就可以从中找到很多探究的课题。

1. 空集是一切集合的子集,但在解决关集合问题时,常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。
2.
整理求定义域的规则及类型(特别是复合函数的类型)。

3.
求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时,往往希望将自变量在一个地方出现,所以变量集中的原则就提供了解题的方向,试研究所有与变量集中原则有关的类型(如配方法、带余除法等)。

4.
总结求函数值域的有关方法,探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。

5.
利用条件最值的几何背景进行命题演变,与命题分类。

6.
回顾解指数、对数方程(不等式)的化归实质(利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号),我们称之为给函数更衣,于是我们可以随心所欲地将方程(不等式)进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。

7.
探求反函数是它本身的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程,概括所有这种方程的类型。

8.
在原点有定义的奇函数,其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。

9.
把两面镜子相对而立,若你处于其中,将看到许多肖像位置呈现出周期性,你能把这一事实数学化吗?若把轴对称改为中心对称又怎么结论?

10.
对于含参数的方程(不等式),若已知解的情况确定参数的取值范围,我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数,试概括问题的类型,总结分离参数法。

11.
改变含参数的方程(不等式)的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。

12.
函数与方程思想作为一种重要的数学思想,它有哪些应用。

13.递推数列求通项的方法总结,递推方法的重要作用。

14.斐波那数列在生活中的应用。
15.
数形结合是数学中的重要的思想方法之一,而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘,试探它在解决三角问题中的数形结合功能。
16.
概括sinx+cosx=a时相应x取值范围,及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。

17.
整理三角代换的的类型,及其能解决的哪几类问题。

18.
三角最值的构造证法中,型如 ,可转化成:1)动点(ccosx.asinx)与定点(-d,-b)连线的斜率;2)或先化为 从而转化为动点(cosx.sinx)与定点 连线斜率等,考虑各种构造法的背景的联系,能否以此联系用于解决几何问题。

19.
概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的常用方法。

20.
三角形的形状判定中,对于含边角混合关系的条件,利用正、余弦定理总有两种转化,即转化为角关系或边关系,探索其中一种对另一种解法的启示功能。

21.
一个数学命题若从正面入手分类情况较多,运算量较大,甚至无法求解,此时不妨考虑其反面进行求解得解集,然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为补集法,试整理常见的类型的补集法。

22.
概括使用均值不等式求最值问题中的的技巧 ,及拆项、添项的技巧。

23.
探求一此著名不等式(如柯西不等式、排序不等式等)和多种证法,寻找其背景以加深对不等式的理解。

24.
整理常用的一此代换(三角代换、均值代换等),探索它在命题转化中的功能。

25.
考虑均值不等式的变用,及改变之后的不等式的背景意义。

26.
分母为多项式的轮换对称不等式,由于难以参于通分,证明往往较难。探求一种代换,将分母为多项式的转化为单项式。

27.
探索绝对值不等式和物理模拟法

28.
平几中证点共线、线共点往往较难,通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简单,主要的依据仅仅是平面的基本性质:两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。
29.
用运变化的观点对待数学问题,将会发现问题的实质及问题之间的联系,但对于立几中的这方面还显得不够,可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。

30.
作为降维处理的一个例子:可考虑异面直线距离的几种转化,如转化为线面距、点线距、面面距等。

31. 立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要,试给出一种通用方法进行确定。
32.
作二面角的平面角是立几中的难点,常用方法有:定义法、三垂线法、垂面法。其实质是以点定位,即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形,由于点的个数较多,以哪个点作为定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。

33.
等积变换在立几中大显上内身手,而非等积变换是它的一般情形,作用更大,却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。

34.
将三垂线定理进行推广与引伸,即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。以开阔眼界。

35.
对于数学的公式,我们应当做到三会:即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式,定比分点、斜率公式等,考虑其逆用,就可得到构造法证题,试研究解几中的各种公式逆用,以充实构造法证明。

36.
我们对待任何问题(包括解决数学问题)往往用自己的审美意识去审视,以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材,加以整理与综合研究。

37.
整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材,如用点斜式而忽视斜率存在,截距式而忽视截距为零等。

38.
利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变,达到以点带面,触类旁通目的。

39.
将与中点有关的问题及解决方法进行推广,使之适用于定比分点的相应问题与方法。

40.
研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。

41.
关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中,概括出适用范围更加广阔的解题策略。

42.
解决椭圆问题不如圆容易,能否使问题化归,即椭圆问题的圆化处理,进而研究圆锥曲线(包括其退化情形如两条相交线,平行线等)的圆化处理。

43.
整理与焦半径有关的问题,并将之纯代数化,进而研究其纯代数解法,从中探索新方法。

44.
把点差法解中点弦问题进行推广,使之能解决定比分点弦问题。

45.
求轨迹问题中,纯粹性的简捷判别。

46.
与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题,往往需要建立不等式进行求解,各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。

结合生活、联系社会实际选择课题数学的应用是广泛的,要鼓励学生从生活实际、生产实际中把实际问题提炼成数学研究课题,引导学生留心观察,处处皆数学。也可由教师选编一些与社会、生产、日常生活密切相关的研究课题供学生选择解决,这些课题既要有一定的实用价值,又要有一定的趣味性,以吸引学生进行研究探索。例如以下的一些课题:


47.银行存款利息和利税的调查

48.购房贷款决策问题
49.
有关房子粉刷的预算

50.
投资人寿保险和投资银行的分析比较
51.
养老金问题谈起
52.
各镇中学生生活情况
53.
城镇/农村饮食构成及优化设计
54.
给人与人的关系(友情)评分
55.
丈量成功大厦
56.
如何存款最合算

57.
哪家超市最便宜

58.
通讯网络收费调查统计

59.
水库的来水量如何计算
60.
计算器对运算能力影响
61.
如何提高数学课堂效率

62. 统计月降水量
63.
如何合理抽税

64.
市区车辆构成

65.
出租车车费的合理定价

66.
衣服的价格、质地、品牌,左右消费者观念多少?
67 .
购房贷款决策问题

68 .环保问题


作者:佚名 来源:本站原创 发布时间:2008年09月16日
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