您现在的位置:安徽高中数学>> 文章频道>> 美丽的数学>>正文内容

数学悖论奇景

点击数: 【字体: 收藏 打印文章 查看评论
 

“悖论”这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式:1.一种论断看起来好象肯定错了,实际上却是对的(佯谬);2.一种论断看起来好象肯定对了,实际上却错了(似是而非);3.一系列理论看起来好象无懈可击,却导致了逻辑上自相矛盾。
  悖论有点象变戏法,人们看完以后,几乎没有一个不惊讶得马上就想知道:“这套戏法是怎么搞成的?”当把技巧告诉他后,他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。
  著名的《科学美国人》杂志社编的《数学悖论奇景》中,有不少生动而奇妙的题目,下面几则便选自其中。有的题目作了简略的分析,有的只提出问题,留侍读者去思索。
  1.唐·吉诃德悖论
  小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家,它有一条奇怪的法律,每个旅游者都要回答一个问题:“你来这里做什么?”回答对了,一切都好办;回答错了,就要被绞死。
  一天,有个旅游者回答:“我来这里是要被绞死。”
  旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久:他回答得是对还是错?究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对,那就不要绞死他——可这样一来,他的回答又成了错的了!如果说他回答错了,那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难!
  2.梵学者的预言
  一天,梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
  苏椰:你是一个大骗子,爸爸。你根本不能预言未来。
  学者:我肯定能。
  苏椰:不,你不能。我现在就可以证明它!
  苏椰在一张纸上写了一些字,折起来,压在水晶球下。她说:
  “我写了一件事,它在3点钟前可能发生,也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生,在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了,你答应现在就买辆汽车给我,不要拖到以后好吗?”
  “好,一言为定。”学者在卡片上写了一个字。
  3点钟时,苏椰把水晶球下面的纸拿出来,高声读道:“在下午3点以前,你将写一个‘不’字在卡片上。”
  学者在卡片上写的是“是”字,他预言错了:“在下午3点以前,写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢?也还错!因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生,但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。
  苏椰笑了:“我想要一辆红色的赛车,爸爸,要带斗形座的。”
  3.意想不到的老虎
  公主要和迈克结婚,国王提出一个条件:
  “我亲爱的,如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎,你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门,从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎,只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。”
  迈克看着这些门,对自己说道:
  “如果我打开了四个空房间的门,我就会知道老虎在第五个房间。可是,国王说我不能事先知道它在哪里,所以老虎不可能在第五个房间。”
  “五被排除了,所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理,老虎也不会在最后一个房间——第四间内。”
  按同样的理由推下去,迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐,他满怀信心地去看门。使他惊骇的是,老虎从第二个房间跳了出来。
  迈克的推理并没有错,但他失败了。老虎的出现完全出乎意料,表明国王遵守了他的诺言。也许,迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止,逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。
  4.钱包游戏
  史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说:“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上,我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。”
  学生甲想:“如果我的钱多,就会输掉我这些钱;如果他的多,我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多,这个游戏对我有利。”

同样的道理,学生乙也认为这个游戏对他有利。
  请问,一个游戏怎么会对双方都有利呢?
  5.一块钱哪儿去了?
  一个唱片商店里,卖30张老式硬唱片,一块钱两张;另外30张软唱片是一块钱三张。那天,这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元,30张软唱片收入10元,总共是25元。
  第二天,老板又拿出60张唱片。他想:“如果30张唱片是一块钱卖两张,30张是一块钱卖三张,何不放在一起,两块钱卖5张呢?”这一天,60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现,只卖得24元,而不是25元。
  这一块钱到哪儿去了呢?
  6.惊人的编码
  外星的一位科学家基塔先生,来到地球收集人类的资料,遇到了赫尔曼博士。
  赫尔曼:“你何不带一套大英百科全书回去?这套书最全面地汇总了我们的所有知识。”
  基塔:“可惜,我带不走那么重的东西。不过,我可以把整套百科全书编码,然后只要在这根金属棒上作个标记,就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了!
  基塔先生是怎样做到的呢?
  基塔:“我先把每个字母、数字、符号,都用一个数来代表,零用来隔开它们。例如cat一词就编为3-0-1-0-22。我用高级袖珍计算机快速扫描,就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点,就使它变成了一个十进制的分数,例如0.2015015011……
  基塔先生在金属棒上找到了一个点,这个点将棒分为a和b两段,而a/b刚好等于上面那个十进制分数值。
  基塔:“回去后,测出a和b的值,就求出了它们的比值;根据编码的规定,你们的百科全书就被破译出来了。”
  这样,基塔离开地球时只带了一根金属棒,而他却已“满载而归”了!
  7.不可逃遁的点
  帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身,当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下,晚上七点又回到山脚,遇见了拓扑学老师克莱因。
  克莱因:“帕特,你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点,你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同?”
  帕特:“这绝不可能!我走路时快时慢,有时还停下来休息。”
  克莱因:“当你开始下山时,设想你有一个替身同时开始登山,这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇,但一定会有这样一点。……”
  帕特明白了。你明白了吗?
  8.橡皮绳上的蠕虫
  橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行;而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去,蠕虫最后究竟会不会到达终点呢?
  乍一想,随着橡皮绳的拉伸,蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到:随着橡皮绳的每次拉伸,蠕虫也向前挪了。
  如果用数学公式表示,蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置,表示为整条绳的分数就是(推导过程从略):
  当n足够大(约为e100000)时,上式的值就超过了1,也就是说蠕虫爬到了终点。
  9.棘手的电灯
  一盏电灯,用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟,然后关掉半分钟,再拧开1/4分钟,再关掉1/8分钟,如此往复,这一过程的末了恰好是两分钟。
  那么,在这一过程结束时,电灯是开着,还是关着?这个问题实在是难!


作者:佚名 来源:本站原创 发布时间:2007年12月13日
相关信息
没有相关内容
观后心情
感动 同情 无聊 愤怒 搞笑 难过 高兴 路过
用户信息中心
  • 中学数学免费网
  • 旧版安徽高中数学
  • 中学数学吧
  • 大榕树数学资源网
  • 数学社区
  • 人教社高中数学
  • 数海荡舟
  • 中国数学教育网
  • 中学数学信息网
  • 广东中山数学网
  • 画龙点睛
  • 数学资源网